初中数学育才中学中考总复习《二次函数》专题训练

《二次函数》专题（一）

一．解答题（共30小题）

1．（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值； （3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直

2

线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

3．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标；

2

2

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

4．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

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5．（2013?张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

2

6．（2013?湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）． （1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

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8．（2013?岳阳）如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛

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物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F． （1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：

①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标； ②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

9．（2013?玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）． （1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

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10．（2013?营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2013?益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=

2

，同理，所以AB的中点坐标为

．由勾股定理得AB=

．

，所以A、B两点间的距离公式为

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立． 解答下列问题：

2

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C． （1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

12．（2013?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D． （1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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13．（2013?孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）． ①AE=EF是否总成立？请给出证明；

2

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上，求此时点F的坐标．

14．（2013?湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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15．（2013?湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x+bx﹣2的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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16．（2013?咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

17．（2013?梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．

（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．

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18．（2013?无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3． （1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

19．（2013?乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

20．（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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21．（2013?铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

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22．（2013?铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： … 55 60 70 75 销售单价x（元/件） … … … 450 400 300 250 一周的销售量y（件） （1）直接写出y与x的函数关系式： _________ （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

23．（2013?天津）已知抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：

（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；

（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）． （1）求y2与x之间的函数关系式；

（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．

… … x 0 3 ﹣1 2… … 0 0 y1=ax+bx+c 24．（2013?泰安）如图，抛物线y=x+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

22

25．（2013?太原）综合与探究：

如图，抛物线y=x﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

26．（2013?台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）+k经过点A，其顶点为B，

2

另一抛物线y=（x﹣h）+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C． （1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由； （2）设交点C的横坐标为m．

①交点C的纵坐标可以表示为： _________ 或 _________ ，由此进一步探究m关于h的函数关系式； ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

2

27．（2013?遂宁）如图，抛物线y=

x+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx

2

过

点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． （1）求抛物线y=

x+bx+c与直线y=kx

2

的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

28．（2013?绥化）如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

29．（2013?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+bx﹣3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q． （1）求a和b的值； （2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

2

30．（2013?深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=

x+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

2

（1）点B的坐标为（ _________ ， _________ ），抛物线的表达式为 _________ ； （2）如图2，求证：BD∥AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

《二次函数》(一)

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

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1．（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值； （3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标． 解答： 解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2． ∵tan∠DBA==， ∴BE=6， ∴OB=BE﹣OE=4， ∴B（﹣4，0）． 2∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x+x﹣2． 2 （2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2， 令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）， 令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）． 设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）， 如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m． S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC =BF?MF+（MF+OC）?OF+OA?OC =（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2 =﹣2n﹣m+1 ∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上， ∴n=m2+m﹣2，代入上式得： S22四边形BMCA=﹣m﹣4m+5=﹣（m+2）+9， ∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9． （3）假设存在这样的⊙Q． 如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F． 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得： ， 解得：k=2，b=﹣2， ∴直线AC解析式为：y=2x﹣2， 令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6． 在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3． 设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==． 设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=． 在Rt△AGF与Rt△QEF中， ∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE， ∴Rt△AGF∽Rt△QEF， ∴，即， 化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1． ∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）． 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 2．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直

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线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： 2（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可； （2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可； 2（3）先把直线AB与x轴的距离是m代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答： （1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0）， ∵抛物线过点（0，）， ∴a（0﹣1）=， 解得a=， ∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）， 一般形式为y=x﹣x+； （2）解：当m=2时，m=4， ∵BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标为4， ∴（x﹣1）=4， 解得x1=5，x2=﹣3， ∴点B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣5，4）， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 222222则（﹣5﹣1）﹣h=4， 解得h=5； （3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m， 2∴点B、C的纵坐标为m， ∴（x﹣1）=m， 解得x1=1+2m，x2=1﹣2m， 2∴点C的坐标为（1+2m，m）， 又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点A、C关于y轴对称， 2∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m）， ∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣1﹣2m﹣1）﹣h=m， 解得h=2m+1， 22∴EF=h+m=m+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=， 2222222∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点． 3．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

2

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标； （2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4； （3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m+m+4，将m=代入y=﹣m+m+4，即可求出二次函数的表达式； ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答． 解答： 解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）+1， 把x=0代入y=（x﹣2）+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m+m）=m， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， 2222222∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m+m+4， ∴y=﹣?++4， x+x+4， 2222∴所求函数的解析式为：y=﹣②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）﹣（m）=﹣m+m+4， 把P（3m，﹣m+m+4）的坐标代入y=﹣﹣m+m+4=﹣22222x+x+4得： 2×（3m）+×（3m）+4， 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8． （Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）+（m）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣m+4=﹣m+m+4， 222x+x+4得： 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8， 综上所述：m的值为8或﹣8． 点评： 本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论． 4．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标； （2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； ②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为2（x，x+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 2解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线x=﹣1对称， ∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）； 2（2）①a=1时，∵抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=2． 222将B（1，0）代入y=x+2x+c， 得1+2+c=0，解得c=﹣3． 2则二次函数的解析式为y=x+2x﹣3， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3． 2设P点坐标为（x，x+2x﹣3）， ∵S△POC=4S△BOC， ∴×3×|x|=4××3×1， ∴|x|=4，x=±4． 当x=4时，x+2x﹣3=16+8﹣3=21； 2当x=﹣4时，x+2x﹣3=16﹣8﹣3=5． 所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）； ②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得，解得， 2即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3． 2设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x+2x﹣3）， QD=（﹣x﹣3）﹣（x+2x﹣3）=﹣x﹣3x=﹣（x+）+， 222

∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中． 18．（2013?无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3． （1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出==，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标； 2（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），列出方程，解方2程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC2时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式． 解答： 解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F． 由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①． ∵DF∥BE， ∴△ADF∽△ABE， ∴==，即AE=2AF②， ①与②联立，解得AE=2，AF=1， ∴点A的坐标为（﹣2，0）； （2）∵抛物线过原点（0，0）， 2∴可设此抛物线的解析式为y=ax+bx． ∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0）， ∴对称轴为直线x==﹣1， ∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4， ∴C点横坐标为2， ∴BC=2﹣（﹣4）=6． ∵抛物线开口向上， ∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC， ∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论： ①当OB=BC时，设B（﹣4，y1）， 则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）． ）代入y=ax+bx， 2将A（﹣2，0），B（﹣4，2得，解得． ∴此抛物线的解析式为y=x+2x； ②当OC=BC时，设C（2，y2）， 则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）． ）代入y=ax+bx， ． 22将A（﹣2，0），C（2，4得，解得∴此抛物线的解析式为y=x+x． x+2综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x或y=x+2x． 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 19．（2013?乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB； （2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标； （4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． 解答： （1）证明：如答图1所示，连接ID，IO， ∵I为△BOD的外心，∴IO=ID， 又F为OD的中点，∴IF⊥OD． ∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB， ∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°， ∴△OAD≌△EAB． （2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线， ∴BO=BD=AB=2， ∴OA=BO﹣AB=2﹣． 由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣， ∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）． 2设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax+bx， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x+2x． （3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称， ∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P． 由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2． ∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y=∴﹣x+2=x+2x+， 2x上， x，解此方程得：x=2或x=当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=2﹣， ∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2﹣）． （4）解：∵∠DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD， ∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA， ∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形． 若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形． 如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． ∵DM1=DB=2，OA=2﹣，∴M1（﹣，）． 由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+2． I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点， ∴I（1，﹣1），即M3（1，﹣1）． 故符合题意的M点的坐标为（﹣，），（1，﹣1）． 点评： 本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高． 20．（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先求出点A、B的坐标，然后利用交点式、待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出点C坐标，确定CD∥OB；由题意，直线l平分四边形OBDC的面积，则S梯形OEFC=S梯形FDBE，据此列方程求出k的值； （3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图2所示，然后证明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例线段关系得到式①：，化简之后变为式②：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出t的值． 解答： 解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（﹣1，0），B（3，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， ∵点D（2，）在抛物线上， ∴=a×3×（﹣1），解得a=∴抛物线解析式为：y= （2）抛物线解析式为：y=x+x+，令x=0，得y=，∴C（0，）， 2， （x+1）（x﹣3）=x+x+． 2∵D（2，），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=． 直线l解析式为y=kx﹣2，令y=0，得x=；令y=，得x=； ，）， 如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（，0），F（OE=，BE=3﹣，CF=，DF=2﹣． ∵直线l平分四边形OBDC的面积， ∴S梯形OEFC=S梯形FDBE， ∴（OE+CF）?OC=（FD+BE）?OC， ∴OE+CF=FD+BE，即：+解方程得：k=，经检验k==（3﹣）+（2﹣）， 是原方程的解且符合题意，

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